Aircraft Design

Diagrammi Cl-α e Cl-Cd con Flaps

Con l’estrazione degli ipersostentatori, i diagrammi CL-α e CL-Cd subiscono importanti modifiche, a causa dell’aumento della portanza e della resistenza aerodinamica che essi comportano.

Considerando i flaps, ossia gli ipersostentatori posizionati sul bordo di uscita, essi possono avere differenti gradazioni di deflessione. Con piccole deflessioni dei flaps (tipicamente 10°) l’ala del velivolo si trova in configurazione di decollo; con le massime deflessioni (da 30 a 60°) l’ala si trova invece in configurazione di atterraggio.

E’ quindi necessario tracciare i diagrammi per ogni possibile deflessione dei flaps (10°, 20°, 30°, 40°, etc; fino al valore massimo scelto).

La procedura di calcolo che segue, è idonea per le seguenti tipologie di flaps:

Slotted flaps con fessura.

Slotted flaps senza fessura.

Plain flaps.

Split flaps.

Per tracciare i diagrammi, occorre calcolare gli aumenti di CL e di Cd che si hanno rispetto ai rispettivi valori (CL e Cd) che si hanno nel velivolo completo.

Occorre innanzitutto definire la tipologia e la disposizione sull’ala degli ipersostentatori.

Per la procedura di calcolo di seguito descritta, utilizzeremo la seguente nomenclatura.

Il profilo alare considerato è quello passante per il baricentro del singolo flap (in prima approssimazione si può considerare la sezione di mezzeria del singolo flap).

b = apertura alare

bf2 = apertura flaps (overall flap span)

bf1 = spazio interno lasciato vuoto dai flaps (cut-out)

C = corda del profilo alare in corrispondenza del baricentro del flap (in prima approssimazione si può considerare la sezione di mezzeria del singolo flap) con i flaps retratti, ossia con β = 0.

C’ = corda del profilo alare modificata dall’estensione dei flaps (passante per il baricentro del flap).

Cf = valore della corda del flap in corrispondenza del baricentro del singolo flap.

t = spessore massimo del profilo alare

β = angolo di deflessione dei flaps

L’aumento del CL dovuto all’estrazione dei flaps può essere calcolato con la seguente formula:

λ1 = coefficiente correttivo ricavabile dai seguenti diagrammi.

λ2 = coefficiente correttivo ricavabile dai diagrammi seguenti.

λ3 = coefficiente correttivo ricavabile dai seguenti diagrammi.

F(λ)/F(6) = coefficiente correttivo ricavabile dai diagrammi seguenti.

C’/C = rapporto tra la corda modificata dall’estensione del flap e la corda del profilo alare che passa per il baricentro del singolo flap (in prima approssimazione si considera la corda che passa per la mezzeria del singolo flap).

Determinazione coefficiente λ1.

Per la determinazione di tale coefficiente si considera il seguente diagramma.

Si individua sull’asse delle ascisse il valore del rapporto Cf/C’ e si sale in verticale fino ad intercettare la curva; in base al punto di intersezione si individua sull’asse delle ordinate il valore del coefficiente λ1.

Determinazione coefficiente λ2.

Per tale coefficiente si hanno diagrammi differenti a seconda della tipologia di flaps utilizzati.

Sul diagramma, si va ad individuare sopra l’asse delle ascisse il valore della deflessione dei flaps.

Siccome durante il volo si possono utilizzare differenti deflessioni dei flaps, avremo di conseguenza differenti valori del coefficiente λ2 ricavabili dal diagramma.

Supponendo che il nostro velivolo abbia la possibilità di deflettere i flas a 10° (tipicamente in decollo e nel braccio di sottovento del circuito di atterraggio), a 20° (tipicamente nel braccio di base), a 30° (nel braccio di finale dell’atterraggio) e 40° (in corto finale in atterraggio), avremo di conseguenza quattro differenti valori del coefficiente correttivo λ2.

λ210° = corrispondente alla deflessione di 10° dei flaps

λ220° = corrispondente alla deflessione di 20° dei flaps

λ230° = corrispondente alla deflessione di 30° dei flaps

λ240° = corrispondente alla deflessione di 40° dei flaps

Come riportato inizialmente, per ogni tipologia di flaps vi è un diagramma differente per la determinazione del coefficiente λ2. Quello riportato qui di seguito riguarda i flaps di tipo NACA Slotted, che prevede la formazione di una fessura con lo spessore gap = 0.02C.

δf = β

In questo caso: C’ = 0.90C + 0.30C × cos(β)

dove t/C è lo spessore relativo del profilo alare passante per il baricentro del singolo flap.

Si individua sull’asse delle ascisse il valore considerato per la deflessione dei flaps (ad esempio il valore 30°, per ricavare il coefficiente λ230°).

Si sale in verticale, fino ad intersecare la curva relativa al valore dello spessore relativo t/C del profilo alare che passa per il baricentro del flap.

In base a tale punto di intersezione, si individua sull’asse delle ordinate il corrispondente valore del coefficiente λ2.

Per i flaps di tipologia Slotted, senza la presenza di una fessura, si utilizza il seguente diagramma.

δf = β

In questo caso C’ = 0.8270C + 0.2566C × cos(β)

Per l’individuazione del coefficiente si procede con la medesima modalità seguita nel diagramma precedente.

Per i flaps di tipo Split e Plain si utilizza invece il seguente diagramma.

Split flaps

δ = β

Poichè lo Split flap è un pannello sul ventre del profilo che si deflette verso il basso, C’ = C

Plain flaps

δf = β

In questo caso C’ = 0.670C + 0.010 + (C-0.670C –0.010) × cos(β)

Con C espressa in metri

Per l’individuazione del coefficiente correttivo λ2 si procede in modo analogo a quanto fatto nei diagrammi precedenti.

Determinazione coefficiente λ3.

Per la determinazione del coefficiente correttivo si utilizza il seguente diagramma.

Per calcolare il coefficiente correttivo λ3, occorre utilizzare il diagramma sopra riportato per due volte di seguito.

1. Passo 1: sopra l’asse delle ascisse si individua il valore del rapporto bf2/b; si sale in verticale fino ad intercettare la curva relativa al rapporto di rastremazione (Taper Ratio) dell’ala, che nel caso di questo diagramma è considerato come il suo inverso. Ossia, il Taper Ratio riportato sul diagramma è pari al rapporto tra la corda alla radice alare e la corda all’estremità alare, ossia l’inverso della definizione tradizionale del rapporto di rastremazione. Il valore di λ3 che andiamo così ad individuare lo indichiamo con λ3A.

2. Passo 2: ripeto quanto effettuato nel passo precedente, individuando però sopra l’asse delle ascisse il valore di bf1/b. Il valore di λ3 che individuiamo lo indichiamo con λ3B.

3. Passo 3: considero come valore del coefficiente λ3 quello dato da: λ3 = λ3A - λ3B

Determinazione coefficiente F(λ)/F(6).

Per la determinazione di tale coefficiente si fa riferimento invece al seguente diagramma.

In tale diagramma si va ad individuare sopra l’asse delle ascisse il valore dell’allungamento alare λ del velivolo. Da tale punto si sale in verticale fino ad intercettare la curva a tratto continuo; in corrispondenza di tale punto si legge sopra l’asse delle ordinate il valore del coefficiente correttivo F(λ)/F(6) cercato.

Avendo ora determinato tutti i coefficienti, è possibile applicare la formula che fornisce l’incremento del coefficiente di portanza, e quindi tracciare i diagrammi CL-α relativi all’estrazione dei flaps.

A fini pratici, è conveniente riportare la procedura in forma tabellare.

Conviene predisporre una tabella per ogni deflessione dei flaps. Supponendo di avere quattro tipologie di deflessione dei flaps (ad esempio β=10°, β=20°, β=30° e β=40°), si compileranno quattro tabelle.

Riportiamo ad esempio la tabella relativa alla deflessione β=10°.

Nella colonna 1 vengono riportati i valori dell’angolo di incidenza α; ogni cella riporterà un valore differente.

Nella colonna 2 vengono riportati i valori del CL del velivolo completo, corrispondenti al relativo angolo di incidenza α; ogni cella presenterà un valore differente. Il valore del CL del velivolo completo riportato nella colonna è relativo alla configurazione pulita dell’ala, ossia con β=0°.

Nella colonna 3 viene riportato il valore C della corda del profilo alare passante per il baricentro del singolo flap (in prima approssimazione, la sezione di mezzeria del singolo flap). Tutte le celle riporteranno lo stesso valore.

Nella colonna 4 viene riportato il valore C’ della lunghezza della corda del profilo alare, modificata dall’estensione dei flaps

• Per gli Slotted flaps con fessura: C’ = 0.90C + 0.30C × cos(β)

• Per gli Slotted flaps senza fessura: C’ = 0.827C + 0.2566C × cos(β)

• per gli Split flaps: C’ = C

• Per i Plain flaps: C’ = 0.670C + 0.010 + (C-0.670C –0.010) × cos(β). Con la C espressa in metri.

In ogni cella della colonna si avrà un identico valore.

Nella colonna 5 si riporta il valore del rapporto C/C’; ogni cella riporterà lo stesso valore.

Nella colonna 6 si riporta il valore del coefficiente correttivo λ1; ogni cella riporterà lo stesso valore.

Nella colonna 7 si riporta il valore del coefficiente correttivo λ2. Occorre fare attenzione nel prendere il valore di λ2, che deve corrispondere al valore di deflessione β dei flaps considerato (nella tabella sopra riportata, occorrerà considerare il valore di λ2 corrispondente a β=10°). Ogni cella riporterà lo stesso valore.

Nella colonna 8 si riporta il valore del coefficiente correttivo λ3; ogni cella riporterà lo stesso valore.

Nella colonna 9 si riporta il valore del coefficiente correttivo F(λ)/F(6); ogni cella riporterà lo stesso valore.

Nella colonna 10 si riporta il valore di ΔCL calcolato con la relativa formula; ogni sua cella riporterà un valore differente.

Nella colonna 11 si riporta il valore del CL del velivolo completo con i flaps alla deflessione considerata (nella tabella sopra riportata si è considerato β=10°). Tale valore si ottiene sommando i valori della colonna 2 con i valori della colonna 10 della rispettiva riga. Ogni cella riporterà un valore differente.

Per ogni deflessione dei flaps che vogliamo considerare si andrà di conseguenza a compilare la tabella sopra descritta.

Dopo la compilazione di tutte le tabelle necessarie, si potranno tracciare le curve CL-α del velivolo completo con i flaps estratti; ogni curva sarà relativa ad uno stato di deflessione del flaps considerato nelle tabelle.

Per fare ciò, è sufficiente riportare sopra l’asse delle ascisse i valori della colonna 1, mentre sopra l’asse delle ordinate si riporteranno i valori della colonna 11.

Si procede ora con il calcolo della variazione della curva CL-Cd del velivolo completo dovuta all’estrazione dei flaps. La variazione sarà data da:

Cdvcflap = Δcdo + Δcdi

Dove Δcdo è l’aumento del Cd dovuto ai flap relativo ad un angolo di incidenza α nullo, mentre Δcdi è l’incremento dovuto alla resistenza indotta. Per tali incrementi della resistenza possiamo utilizzare le seguenti formule.

Δcdo = f × (δ1 × δ2 × δ3)

f = 0.85 nel caso di ipersostentatori di tipologia Split

f = 1.40 nel caso di ipersostentatori di tipologia Slotted

f = 1.00 nel caso degli ipersostentatori di tipologia Plain

δ1 = coefficiente correttivo ricavabile dai diagrammi seguenti.

δ2 = coefficiente correttivo ricavabile dai seguenti diagrammi.

δ3 = coefficiente correttivo ricavabile dai diagrammi seguenti.

K = coefficiente correttivo ricavabile dai seguenti diagrammi.

ΔCL = incremento del CL dovuto all’estrazione dei flaps

λe = allungamento alare equivalente = λ × (coefficiente di Oswald).

λ = allungamento alare

Coefficiente di Oswald = e = si può stimare con le seguenti formule.

Per le ali con angolo di freccia inferiore a 30° (angolo di freccia riferito al bordo di attacco dell’ala).

mentre per le ali con angolo di freccia maggiore di 30° si ha

dove Λle = angolo di freccia riferito al bordo di attacco della semiala.

Si deve ora procedere alla determinazioni dei vari coefficienti correttivi che dipendono dalla geometria dei flaps e dell’ala del velivolo.

Come in precedenza, si farà riferimento a vari diagrammi.

Determinazione coefficiente δ1

Per la determinazione di tale coefficiente δ1 si fa riferimento ai seguenti due diagrammi.

Il primo diagramma è valido per i flaps della tipologia Slotted, sia con gap che senza gap.

Il secondo diagramma è invece valido per i flaps di tipologia Plain e Split.

In entrambi i diagrammi si individua sopra l’asse delle ascisse il valore di Cf/C. Si sale in verticale fino ad intercettare la curva relativa allo spessore relativo t/c. In corrispondenza di tale punto della curva, si legge sopra l’asse delle ordinate il corrispondente valore del coefficiente δ1.

Determinazione coefficiente δ2

Anche per la determinazione del coefficiente δ2 si fa riferimento a due diagrammi.

Il primo diagramma è relativo ai flaps di tipologia Slotted, con o senza gap.

Il secondo diagramma è invece relativo ai flaps di tipologia Plain e Split.

In questo secondo diagramma, per i Plain flaps si fa riferimento alla curva tratteggiata e si ha una sola curva per tutti i valori dello spessore relativo t/c.

Per gli Split flaps si considerano invece le curve con tratto continuo e queste sono differenti a seconda del valore dello spessore relativo t/c.

Occorre ora fare la stessa considerazione che si era fatta in precedenza per il coefficiente λ2 a causa della differente deflessione dei flaps. Sul diagramma, sopra l’asse delle ascisse si va ad individuare il valore della deflessione dei flaps. Siccome durante il volo del velivolo si possono utilizzare differenti deflessioni dei flaps, avremo di conseguenza differenti valori del coefficiente δ2 ricavabili dal diagramma. Supponendo che il nostro velivolo abbia la possibilità di deflettere i flaps a 10° (tipicamente in decollo e nel braccio di sottovento del circuito di atterraggio), a 20° (tipicamente nel braccio di base), a 30° (nel braccio di finale dell’atterraggio) e 40° (in corto finale in atterraggio), avremo di conseguenza quattro differenti valori del coefficiente correttivo δ2..

δ210° = corrispondente alla deflessione di 10° dei flaps

δ220° = corrispondente alla deflessione di 20° dei flaps

δ230° = corrispondente alla deflessione di 30° dei flaps

δ240° = corrispondente alla deflessione di 40° dei flaps

Sopra l’asse delle ascisse si individua il valore dell’angolo di deflessione dei flaps β. Si sale in verticale fino ad individuare la curva di nostro interesse in relazione allo spessore relativo t/c ( per i Plain flaps abbiamo un’unica curva tratteggiata). In corrispondenza del punto di intersezione, si individua sopra l’asse delle ordinate il valore corrispondente del coefficiente correttivo δ2.

Determinazione coefficiente δ3

Per la determinazione di tale coefficiente si utilizza il seguente diagramma.

Per calcolare il coefficiente correttivo δ3, occorre utilizzare il diagramma sopra riportato per due

volte di seguito.

Passo 1: sopra l’asse delle ascisse si individua il valore del rapporto bf2/b; si sale in

verticale fino ad intercettare la curva relativa al rapporto di rastremazione (Taper Ratio)

dell’ala, che nel caso di questo diagramma è considerato come il suo inverso. Ossia, il

Taper Ratio riportato sul diagramma è pari al rapporto tra la corda alla radice alare e

la corda all’estremità alare, ossia l’inverso della definizione tradizionale del rapporto

di rastremazione. Il valore di δ3 che andiamo così ad individuare lo indichiamo con δ3A.

Passo 2: ripeto quanto effettuato nel passo precedente, individuando però sopra l’asse delle

ascisse il valore di bf1/b. Il valore di δ3 che individuiamo lo indichiamo con δ3B.

Passo 3: considero come valore del coefficiente δ3 quello dato da: δ3 = δ3A - δ3B

Determinazione del coefficiente K

Il coefficiente K tiene conto di molti parametri relativi alla geometria dei flaps inseriti sulla struttura alare. Di conseguenza, la sua determinazione richiede una proceduta più complessa di quella relativa ai precedenti coefficienti. Occorre innanzitutto calcolare il seguente rapporto:

A/ao = λ/(pendenza profilo medio in radianti)

λ = allungamento alare del velivolo

Pendenza profilo medio in radianti = pendenza del tratto rettilineo della curva CL-α del profilo medio dove l’angolo di incidenza α deve essere espresso in radianti.

Riguardo la pendenza della curva CL-α del profilo medio, si deve fare riferimento al capitolo relativo alla determinazione delle curve aerodinamiche del profilo medio, facendo attenzione che l’angolo di incidenza in questo caso (ossia per la determinazione del coefficiente correttivo K) deve essere espresso in radianti. Il rapporto A/ao serve per la consultazione dei seguenti diagrammi.

Diagramma per A/ao = 0.667

La procedura prevede la consultazione di tre diagrammi, relativi rispettivamente a A/ao=0.667, A/ao=1, A/ao=2. I coefficienti K individuati nei tre diagrammi (quindi tre coefficienti che chiameremo K0.667, K1, K2) vengono poi interpolati per poter così determinare il valore di K relativo al rapporto A/ao del nostro velivolo.

L’individuazione del coefficiente K su ognuno dei diagrammi, prevede la presa in considerazione di tre parametri:

• il rapporto bf2/b

• il valore (bf2-bf1)/b che viene chiamato NET-FLAP-SPAN

• il valore bf1/b che viene chiamato CUT-OUT

Praticamente si individua sopra l’asse delle ascisse il valore bf2/b, si sale in verticale fino ad individuare la curva che rappresenta il valore del CUT-OUT del nostro velivolo. Dal punto individuato sulla curva del CUT-OUT, si percorre tale curva (curva del CUT-OUT) verso l’alto o verso il basso, fino ad individuare la curva del NET-FLAP-SPAN del nostro velivolo. Dal punto individuato sulla curva del NET-FLAP-SPAN, si traccia una linea orizzontale fino ad intercettare l’asse delle ordinate. In questo modo si individua il valore del coefficiente K relativo al valore A/ao del diagramma consultato. Nell’esempio considerato nel diagramma sopra riportato, si è considerato un velivolo con bf2/b=0.75, CUT-OUT=0.80, NET-FLAP-SPAN=0.30; con tali valori corrisponde un valore di k=1.48. Tale procedura si ripete con gli altri due diagrammi relativi ai rapporti A/ao=1 e A/ao=2

Diagramma relativo a A/ao=1 Diagramma relativo a A/ao=2

Si ottengono in questo modo tre valori del coefficiente K individuati sui tre diagrammi:

• K relativo al valore di A/ao=0.667 che indichiamo come K0.667

• K relativo al valore di A/ao=1 che indichiamo come K1

• K relativo al valore di A/ao=1 che indichiamo come K2

Con tali valori si effettua un’interpolazione, riportandoli sopra un diagramma che presenta sopra l’asse delle ascisse il valore di A/ao e sopra l’asse delle ordinate il valore di K.

I tre punti del diagramma li possiamo unire con la funzione B-plane o S-plane di un software di disegno; ad esempio AutoCad. Dopo il tracciamento del diagramma, individuo sopra l’asse delle ascisse il valore di A/ao del nostro velivolo; salgo in verticale fino ad intercettare la curva disegnata. In corrispondenza a tale punto, si individua con una linea orizzontale il valore di K del velivolo considerato, che denominiamo Kvelivolo.

A questo punto si sono individuati i valori di tutti i coefficienti necessari per poter calcolare l’incremento del coefficiente di resistenza Cr del velivolo.

Ai fini pratici è ora conveniente riportare i calcoli in forma tabellare.

Conviene predisporre una tabella per ogni deflessione dei flaps. Supponendo di avere quattro tipologie di deflessione dei flaps (ad esempio β=10°, β=20°, β=30° e β=40°), si compileranno quattro tabelle.

Riportiamo ad esempio la tabella relativa alla deflessione β=10°.

Nella colonna 11 si riportano gli stessi valori della colonna 1 delle tabelle precedentemente scritte relative all’incremento del coefficiente di portanza ΔCL, dovuto ai flaps. Ogni cella della colonna avrà un valore differente.

Nella colonna 12 si riporta il valore del coefficiente f relativo alla tipologia di flaps considerati (Split flaps, Plain flaps, Slotted flaps). Ogni cella della colonna presenterà lo stesso valore.

Nella colonna 13 si riporta il valore del coefficiente δ1 relativo alla tipologia di flaps considerati (Split flaps, Plain flaps, Slotted flaps). Ogni cella della colonna presenterà lo stesso valore.

Nella colonna 14 si riporta il valore del coefficiente correttivo δ2. Occorre fare attenzione nel prendere il valore di δ2, che deve corrispondere al valore di deflessione β dei flaps considerato nella tabella (nella tabella sopra riportata, occorrerà considerare il valore di δ2 corrispondente a β=10°). Ogni cella riporterà lo stesso valore.

Nella colonna 15 si riporta il valore del coefficiente δ3. Ogni cella riporterà lo stesso valore.

Nella colonna 16 si riporta il valore di Δcro dato dalla formula Δcdo = f × (δ1 × δ2 × δ3)

Nella colonna 17 si riportano gli stessi valori della colonna 10 delle precedenti tabelle. Ogni cella della colonna avrà un valore differente.

Nella colonna 18 si riportano gli stessi valori della colonna 2 delle tabelle precedenti. Ogni cella della colonna avrà un valore differente.

Nella colonna 19 si riporta il valore del coefficiente correttivo Kvelivolo precedentemente calcolato. Ogni cella della colonna presenterà lo stesso valore.

Nella colonna 20 si riporta il valore dell’incremento del coefficiente di resistenza dovuto alla resistenza indotta, inerente all’estrazione dei flaps. Tale valore si calcola con la formula precedentemente riportata.

Ogni cella della colonna avrà un valore differente.

Nella colonna 21 si riporta il valore dell’incremento totale del coefficiente di resistenza dovuto all’estrazione dei flaps. Tale valore è dato dalla somma dei valori della colonna 16 con i valori della colonna 20. Ogni cella della colonna avrà un valore differente.

Per ogni deflessione dei flaps che vogliamo considerare si andrà di conseguenza a compilare la tabella sopra descritta (ad esempio per β=10°, β=20° β=30° e β=40°; per un totale di quattro tabelle). Dopo la compilazione di tutte le tabelle necessarie, si potranno tracciare le curve CL-Cd del velivolo completo con i flaps estratti; ogni curva sarà relativa ad uno stato di deflessione del flaps considerato nelle tabelle.

Per fare ciò, è sufficiente riportare sopra l’asse delle ascisse i valori della colonna 18, mentre sopra l’asse delle ordinate si riporteranno i valori della colonna 21.

Occorre ora distinguere due situazioni:

1. estensione dei flaps con il carrello retratto

2. estensione dei flaps con il carrello estratto

Nella prima situazione, nella colonna 18 della tabella sopra riportata occorre inserire il coefficiente di portanza del velivolo completo con carrello retratto CLvc; nella seconda situazione occorre invece inserire il valore del coefficiente di portanza del velivolo completo con il carrello estratto CLvc(carrello estratto). Entrambi questi valori sono stati calcolati con la procedura illustrata nel capitolo delle curve aerodinamiche del velivolo completo.

Nel tracciamento quindi delle curve polari che contemplano l’estensione dei flaps, avremo quindi due differenti condizioni e di conseguenza diagrammi differenti,

Nei diagrammi successivi vengono riportate le curve polari relative all’estrazione dei flaps con e senza l’estrazione del carrello di atterraggio.

Ovviamente, l’estrazione del carrello comporta un notevole aumento della resistenza aerodinamica.

Dalle immagini risulta evidente il contributo alla resistenza aerodinamica da parte del carrello d’atterraggio estratto.