Aircraft Design

Diagrammi Cl-α e Cl-Cd

ala isolata

In questo passaggio, viene riportata la procedura da seguire per passare dai diagrammi/curve aerodinamiche del profilo medio a quelle dell’ala isolata.

Con l’ala isolata, si prende in considerazione la geometria della pianta alare e la resistenza indotta dovuta ai vortici che si generano alle estremità alari.

Una delle principali modifiche che avvengono in questo passaggio, risulta essere la variazione della pendenza del tratto rettilineo della curva CL-α.

​Passo A.

La pendenza dell’ala isolata si può calcolare nel seguente modo:

Dove per pendenza si intende, dal punto di vista matematico, la derivata della funzione rispetto l’angolo di incidenza α. Praticamente risulta essere il coefficiente angolare del tratto rettilineo della curva in esame.

PendenzaPM = Pendenza profilo medio = coefficiente angolare del tratto rettilineo = derivata della funzione rispetto l’angolo di incidenza α .

f = coefficiente correttivo.

b = apertura alare.

λ = allungamento alare

S = superficie alare del velivolo.

P = semiperimetro ala = A + C + D

Per determinare la pendenza (coefficiente angolare) del profilo medio, è sufficiente effettuare il rapporto tra le ordinate e le ascisse di due punti del tratto rettilineo della curva stessa.

Ossia:

Pendenza = coefficiente angolare = (Y espresso con valori di CL) / (X espressa con valori di α)

Supponendo ad esempio che il punto 1 presenti le coordinate 1(-4,0:0,0), mentre il punto 2 possegga le seguenti coordinate: 2(0,0:0,6).

si ha che

X = 0 – (-4.0) = 4,0      Y = 0,6 – 0,0 = 0,6

In questo caso, il coefficiente angolare/pendenza risulta essere quindi pari a:

pendenza = coefficiente angolare = 0,6 / 4,0 = 0.15

Riguardo il valore del coefficiente correttivo, si utilizza il seguente diagramma per la sua determinazione.

Il valore del coefficiente correttivo si individua in base al valore dell’allungamento alare (Aspect Ratio), riportato sull’asse delle ascisse e del valore del rapporto di rastremazione (Taper Ratio); il quale determina la differenziazione tra le varie curve riportate sul diagramma.

Rapporto di rastremazione = Taper Ratio = (corda estremità alare)/(corda radice alare) = C2/C1

Per calcolare il valore del coefficiente f, si individua il valore dell’allungamento alare sopra l’asse delle ascisse e si sale in verticale, fino ad intercettare la curva che rappresenta il rapporto di rastremazione dell’ala del nostro velivolo.

Nell’esempio in figura, si è considerato un allungamento alare pari a 6.5 ed un rapporto di rastremazione con valore di 0.8. A tale coppia di valori corrisponde un coefficiente f avente valore di 0.993.

​Passo B.

Come è noto, per tracciare una retta è necessario conoscere il suo coefficiente angolare ed un punto di passaggio della retta.

Di conseguenza, per disegnare il tratto rettilineo della curva CL-α dell’ala isolata, dobbiamo conoscere il suo coefficiente angolare (che non è altro che la sua pendenza calcolata nel punto precedente) ed un suo punto di passaggio.

Come punto di passaggio, si considera l’intersezione del tratto rettilineo con l’asse delle ascisse.

Tale intersezione la possiamo determinare tramite la seguente formula.

(Valore di α per cui CL=0 nell’ala isolata) = (Valore di α per cui CL=0 nel profilo medio) + J×εe

J è un fattore correttivo, che si ricava con il seguente diagramma, in base all’allungamento alare (Aspect Ratio) ed al rapporto di rastremazione (Taper Ratio).

Per calcolare il valore del coefficiente J, si individua il valore dell’allungamento alare sopra l’asse delle ascisse e si sale in verticale fino ad intercettare la curva che rappresenta il rapporto di rastremazione dell’ala del nostro velivolo.

Nell’esempio in figura, si è considerato (a titolo di esempio) un allungamento alare pari a 6.5 ed un rapporto di rastremazione con valore di 0.8. A tale coppia di valori corrisponde un coefficiente J avente valore di –0.425.

εe è invece il valore dello svergolamento aerodinamico equivalente.

Esso può essere calcolato con la seguente formula:

dove

b = apertura alare

C2 = corda all’estremità alare

pendenzaPM = pendenza del profilo medio, ossia il suo coefficiente angolare (derivata della funzione), che era stato calcolato nel precedente passo A.

Riguardo il termine Sa, nel caso in cui si siano adottati due profili per l’ala del velivolo (uno per la radice alare e l’altro per l’estremità alare), esso si determina nel modo seguente:

con

ε =[(α per cui CL=0 nel profilo alla radice)–( α per cui CL=0 nel profilo all’estremità)]

ε è quindi lo svergolamento geometrico dell’ala, che è diverso dallo svergolamento geometrico equivalente εe.

Per la pendenza del profilo all’estremità alare, è necessario prendere in esame il diagramma del profilo NACA adottato per l’estremità alare, che avevamo ipotizzato fosse ad esempio il NACA 63210. Tale pendenza, non è altro che il coefficiente angolare del tratto rettilineo della curva CL-α.

Per determinare la pendenza della curva, ossia il coefficiente angolare del tratto rettilineo (derivata della funzione), è sufficiente effettuare il rapporto tra le ordinate e le ascisse di un punto del tratto rettilineo della curva del profilo NACA 63210, (in modo analogo a quanto fatto per il profilo medio).

Pendenza NACA 63210 = (Y espresso con valori di CL) / (X espresso con valori di α)

Si è quindi riusciti a determinare la pendenza del tratto rettilineo della curva CL-α, ossia il suo coefficiente angolare, ed un suo punto (precisamente il suo punto di intersezione con l’asse delle ascisse).

Si hanno quindi tutti i parametri necessari per tracciare la parte rettilinea della curva dell’ala isolata.

In pratica, si individua sopra l’asse delle ascisse il punto di intersezione del tratto rettilineo (punto 1); successivamente si considera un intervallo M (come indicato in figura) e moltiplicando per il coefficiente angolare (pendenza ala isolata) si ottiene il segmento K, che individua il secondo punto del tratto rettilineo (punto 2). Avendo ora due punti, è possibile disegnare il tratto rettilineo del diagramma.

La figura seguente fa comprendere meglio la procedura indicata nelle righe precedenti.

Tracciando in questo modo il tratto rettilineo della curva si evidenzia che, passando dal profilo medio all’ala isolata, la pendenza del diagramma diminuisce.

​

​Passo C

Occorre ora tracciare la parte non rettilinea della curva CL-α dell’ala isolata, ossia la parte prossima alla zona dello stallo.

In questa zona, i valori di CL dell’ala isolata coincidono con i valori dei CL del profilo medio; essi però subiscono una traslazione a destra, a causa dell’aumento dei corrispondenti angoli di incidenza α.

Tale aumento dell’angolo di incidenza può essere calcolata con la seguente formula:

dove

αai = valore dell’angolo di incidenza α dell’ala isolata.

αpm = valore dell’angolo di incidenza α letta sulla curva del profilo medio.

PendenzaPM = pendenza della curva del profilo medio = coefficiente angolare del tratto rettilineo del profilo medio = derivata della funzione che fornisce CL in funzione di α.

PendenzaAI = pendenza della curva dell’ala isolata = coefficiente angolare del tratto rettilineo dell’ala isolata = derivata della funzione che fornisce CL in funzione di α.

Entrambe le due pendenze erano state calcolate nel Passo A.

In pratica si può costruire una tabella che rende agevole il tracciamento della parte non rettilinea della curva dell’ala isolata.

1	2	3
αpm	αai	CL ala isolata = CL profilo medio

​

​Riportando sull’asse delle ascisse i valori della colonna 2, e sull’asse delle ordinate i valori della colonna 3, si riesce a tracciare la parte non rettilinea della curva CL-α dell’ala isolata.

​

​Passo D

Rimane da tracciare la curva polare CL-CD dell’ala isolata.

Passando dal profilo medio all’ala isolata, ai fini della resistenza aerodinamica, è necessario prendere in considerazione anche la resistenza indotta, causata dai vortici che si formano alle estremità alari.

Il coefficiente di resistenza indotta Cdi, viene calcolato con la seguente formula:

dove

PendenzaPM = pendenza della curva del profilo medio = coefficiente angolare del tratto rettilineo del profilo medio = derivata della funzione che fornisce CL in funzione di α.

λ = allungamento alare

εe = svergolamento aerodinamico equivalente

P = semiperimetro

b = apertura alare

u = coefficiente correttivo individuabile sui seguenti diagrammi in base al rapporto di rastremazione ed all’allungamento alare.

υ = coefficiente correttivo individuabile sui seguenti diagrammi in base al rapporto di rastremazione ed all’allungamento alare.

w = coefficiente correttivo individuabile sui seguenti diagrammi in base al rapporto di rastremazione ed all’allungamento alare.

Nell’esempio seguente che illustra la determinazione dei coefficienti correttivi, si sono considerati un allungamento alare (Aspect Ratio) avente valore 6.5 ed un rapporto di rastremazione (Taper Ratio) pari a 0.8. Di conseguenza si hanno, nell’esempio considerato, i seguenti valori dei coefficienti correttivi

u = 0.9825

υ = 0.0031

w = 0.0038

Coefficiente correttivo u

Coefficiente correttivo υ

​Coefficiente correttivo w

A questo punto è possibile tracciare la curva polare Cp-Cr dell’ala isolata.

Ai fini pratici, conviene riportare i calcoli in forma tabellare.

Dove:

CLai = CL dell’ala isolata.

CLpm = CL del profilo medio.

Cdpm = Cd del profilo medio.

Cdi = Cd dovuto alla resistenza indotta.

Nella colonna 5 si riportano i valori di Cdpm, corrispondenti ai valori di CLpm letti sulla polare CL-Cd del profilo medio, ossia sulla polare determinata nel capitolo precedente.

Riportando sopra l’asse delle ascisse i valori della colonna 4 e sull’asse delle ordinate i valori della colonna 7, si riesce a tracciare la curva polare CL-Cd dell’ala isolata. Disegnando la curva polare CL-Cd dell’ala isolata si evidenzia che essa, rispetto all’analoga curva del profilo medio, tende a chiudersi.